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Si l’on décrit sur le plan des $xy,$ des sections coniques dont les équations soient de la forme

$Dp^{2}-D'q^{2}=E,$

$E$ étant une quantité quelconque, la tangente de l’angle que la normale à un des points $L$ d’une de ces courbes dont les coordonnées sont représentées en général par $p$ et $q,$ forme avec l’axe des $x$, sera

$-{\frac {dp}{dq}}={\frac {D'q}{Dp}}=\operatorname {tang} \beta ,$

d’où il suit que la projection $LD$ de la ligne donnée sur le plan des $xy$ se confondra avec cette normale et le plan directeur qui contient tous les axes permanens passant par le point $L$ sans se trouver dans le plan $XGY,$ sera le plan normal à cette courbe.

On aura de plus

$KL:KO::E:{\frac {DD'}{M}},$

d’où il suit que le rapport des deux distances $KL,\ KO,$ sera constant pour les axes permanens de tous les plans directeurs normaux à une même courbe ; ce qui donne une construction très-simple de la distance $KO$ qui détermine le point $O.$ La distance $LO=KO-KL$ aura pour valeur

${\frac {{\cfrac {DD'}{M}}+D'q^{2}-Dp^{2}}{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}\sin \beta$

ou

${\frac {{\cfrac {DD'}{M}}-E}{\sqrt {D^{2}p^{2}+D^{'2}q^{2}}}}\sin \beta$

et sera aussi en rapport constant pour les mêmes axes permanens soit avec $KL,$ soit avec $KO.$

Si l’on fait dans ces formules $\beta ={\frac {\pi }{2}},$ la ligne $LM$