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Dans le cas particulier où deux des trois axes principaux ont le même moment d’inertie, il faut, pour que

${\frac {Y}{X}}=\pm {\sqrt {\frac {H-K}{K-G}}}$

soit réelle, que l’axe des $z$ soit un de ceux dont les momens d’inertie sont égaux. Si l’autre est pris pour l’axe des $x$, les momens d’inertie de ces deux axes étant représentés respectivement par $G+H$ et par $H+K$ on aura

$G=K\quad {\text{et}}\quad {\frac {Y}{X}}={\frac {1}{0}},$

d’où il suit que les deux lignes dont nous venons de parler se réunissent dans l’axe des $y$. Si l’on prenait, au contraire, cet autre axe pour celui des $y,$ on aurait

$H=K\quad {\text{et}}\quad {\frac {Y}{X}}=0\,;$

ce serait donc sur l’axe des $x$ que se réuniraient ces deux lignes ce qui n’est qu’une autre manière d’arriver au même résultat, savoir, que dans ce cas les deux lignes se confondent entre elles et avec l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal aux deux autres. Il n’y a donc plus alors qu’un seul système de plans directeurs parallèles dont les centres de convergence soient aux points où ils rencontrent une perpendiculaire commune passant par le centre d’inertie et ces plans sont alors tous perpendiculaires à l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal à ceux des deux autres axes principaux.

4.^o  La quatrième espèce de plans comprend tous ceux qui ne satisfont à aucune des conditions auxquelles sont assujettis les autres.