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$c''={\frac {D''nn'}{\sqrt {D^{2}n^{'2}n^{''2}+D^{'2}n^{2}n^{''2}+D^{''2}n^{2}n^{'2}}}},$

dont deux suffisent pour déterminer la position de l’axe permanent qui, passant par un point donné, se trouve dans un plan donné mené par la ligne qui joint ce point au centre d’inertie. Mais un moyen plus simple de déterminer cet axe, puisqu’il doit passer par le point $A$ et doit être situé dans $AGM,$ c’est de prendre la valeur du cosinus de l’angle $GAM$ qu’il forme avec la droite $AG\,;$ cette valeur est

$mc+m'c'+m''c''={\frac {Dmn'n''+D'm'nn''+D''m''nn'}{\sqrt {D^{2}n^{'2}n^{''2}+D^{'2}n^{2}n^{''2}+D^{''2}n^{2}n^{'2}}}}.$

Quant à l’équation du plan $GAM,$ elle sera

$nx+n'y+n''z=0,$

et l’axe permanent $AM$ situé dans ce plan sera représenté par deux des trois équations

${\begin{aligned}y-Y&={\frac {D'n}{Dn'}}(x-X),\\z-Z&={\frac {D''n}{Dn''}}(x-X),\\z-Z&={\frac {D''n'}{D'n''}}(y-Y).\end{aligned}}$

Quand le point donné $A$ est dans un des plans principaux par exemple dans le plan des $xy,$ on a $Z=0$ et $m''=0,$ en vertu de cette valeur de $m'',$ l’équation

$mn+m'n'+m''n''=0$

donne

${\frac {n}{n'}}=-{\frac {m'}{m}},$

en sorte que la première des trois équations que nous venons de trouver pour un axe passant passant par le point $A,$ devient