avec les trois plans coordonnés que nous venons de considérer, ou, ce qui est la même chose, des trois angles que forme, avec les axes des
des
et des
la ligne menée par le point
perpendiculairement à ce plan. Comme cette ligne est à-la-fois perpendiculaire à celles dont les cosinus sont respectivement
et
on aura
![{\displaystyle n^{2}+n^{'2}+n^{''2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28777a56eaf3ea0c9ca7dcfac358b2de3e9a3a65)
![{\displaystyle nc+n'c'+n''c''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87e9a522f2d7407ad7fab2eb2ddffd5f1a7cc1a)
![{\displaystyle mn+m'n'+m''n''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a76a3f55a4b8044ebdf2a94996dab55060119c)
Ces deux dernières équations donnent
![{\displaystyle {\frac {m''}{c''}}={\frac {mn+m'n'}{nc+n'c'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3701f19073a3dca0abefbf3937226c92966ec7c8)
ce qui change l’équation
![{\displaystyle {\frac {Dm}{c}}+{\frac {D'm'}{c'}}+{\frac {D''m''}{c''}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447f075c6604a82dd6b748b7870d7dc2126e3c5d)
en
![{\displaystyle {\frac {Dmc'+D'cm'}{cc'}}+{\frac {D''(mn+m'n')}{nc+n'c'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f171f7b406653e35ae34c72c97399d9fcb6be6fd)
ou
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}Dmncc'&+D'nm'c^{2}&&+Dmn'c^{'2}&&+D'm'n'cc'\\&+D''mncc'&&+D''m'n'cc'&&=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e8d872df5bddfe026993dd73a98d314774630c)
et à cause de
cette équation se réduit à
![{\displaystyle D'nm'c^{2}+Dmn'c^{'2}-D'mncc'-Dm'n'cc'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3071d781440756e39cf0efa9d4004c114614eed1)
ou
![{\displaystyle (D'nc-Dn'c')(m'c-mc')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fb33e9fbcdf87c0957f5197c4d2b6c83607ff8)
or le facteur
égalé à zéro, donne
ainsi
![{\displaystyle (D+D'){\frac {m}{c}}+D''{\frac {m''}{c''}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429a5983329a317ddd7f26b53f26933b2cc4b40d)
et à cause de ![{\displaystyle D+D'=-D'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79373d41e5bc31f3da5f593d07c33f4dab17124c)
![{\displaystyle {\frac {m''}{c''}}={\frac {m}{c}}={\frac {m'}{c'}}=k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264fd2fec680953320110aa4ec480d1e3350904b)
mais on a
![{\displaystyle c^{2}+c^{'2}+c^{''2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d971dad1aecc57cae6ba385e8fc50eac4d6dccdb)