En exécutant les multiplications indiquées, et faisant les réductions qui résultent de l’équation
on a
équation commune à tous les axes permanens qui passent par le point et comme elle appartient à une surface conique du second ordre il s’ensuit que c’est sur une surface de ce genre que se trouvent tous ces axes. Cette surface, dont le sommet est en passe par la ligne limite de tous les axes permanens qui se trouvent sur cette surface, puisque les coordonnées du point satisfont à cette équation. Elle passe aussi par les trois parallèles menées du point aux trois axes principaux, puisque la même équation est satisfaite, soit qu’on fasse ou ou enfin ce qui doit être, puisque toute parallèle à un des axes principaux est, comme nous venons de le voir, un axe permanent.
L’équation commune à toutes les surfaces coniques formées par les axes permanens qui se coupent à leurs sommets, prouve qu’il n’y a pas d’axe permanent parallèle à un plan principal qui ne le soit à un des axes principaux compris dans ce plan car, pour qu’il soit parallèle, par exemple, au plan des il faut que ce qui réduit cette équation à en sorte qu’on aura à-la-fois ou et et alors l’axe permanent sera parallèle à l’axe des ou et et alors il sera parallèle à l’axe des
Si l’on fait passer par la ligne un plan quelconque, il coupera la surface conique en une autre ligne dont la direction se trouve déterminée par une relation très simple qu’on trouvera de la manière suivante :
Soient les cosinus des trois angles que forme ce plan
