3.o Celles qui ne le sont pour aucun point de leur longueur.
Les premières sont déterminées par la condition qu’en les prenant pour axe des
chacune à son tour,
et
soient nulles ; les secondes par cette autre condition, que les mêmes quantités, n’étant pas nulles pour le point
le soient pour un point
qui s’en trouve à une distance
sur la ligne que l’on considère, en sorte que
![{\displaystyle \int y'(z'-r)dm=0,\quad {\text{et}}\quad \int x'(z'-r)dm=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa31dd79bd94fa709677040ebdb93d47095a13ea)
d’où
![{\displaystyle r={\frac {\int y'z'dm}{\int y'dm}},\qquad r={\frac {\int x'z'dm}{\int x'dm}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831ecc3d6ea894d2d2c3e71e337de04a7b7b297f)
et la condition cherchée est exprimée par
![{\displaystyle {\frac {\int y'z'dm}{\int y'dm}}={\frac {\int x'z'dm}{\int x'dm}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02e320b3e80833056dec94dfe59dae81c0740c5)
Comme on peut toujours prendre pour axes des
et des
deux droites perpendiculaires à cette ligne et rectangulaires entre elles, dans des directions telles, qu’outre les deux équations ci-dessus, on ait de plus
la ligne passant par le point
qui satisfera à la condition précédente sera un axe permanent relativement au point
déterminé par la condition
puisqu’on aura pour ce point
![{\displaystyle \int x'(z'-r)dm=0,\quad \int y'(z'-r)dm=0,\quad \int x'y'dm=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec3214e0d314ee316042d507922ac46f303da80)
On voit en même temps, par ces formules, pourquoi, quand le point
est le centre d’inertie, il n’y a’que deux sortes de lignes qui puissent y passer ; car alors
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x'(z'-r)dm&=\int x'z'dm,\\\int y'(z'-r)dm&=\int y'z'dm,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a3fd2929b359a2b97c5c085027b31169540585)
en sorte que si la ligne est un axe permanent pour le point
elle le sera aussi pour tous les autres points pris sur son cours,