Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 5.djvu/101

3.^o  Celles qui ne le sont pour aucun point de leur longueur.

Les premières sont déterminées par la condition qu’en les prenant pour axe des $z',$ chacune à son tour, $\int x'z'dm$ et $\int y'z'dm$ soient nulles ; les secondes par cette autre condition, que les mêmes quantités, n’étant pas nulles pour le point $A$ le soient pour un point $O$ qui s’en trouve à une distance $=r,$ sur la ligne que l’on considère, en sorte que

$\int y'(z'-r)dm=0,\quad {\text{et}}\quad \int x'(z'-r)dm=0\,;$

d’où

$r={\frac {\int y'z'dm}{\int y'dm}},\qquad r={\frac {\int x'z'dm}{\int x'dm}},$

et la condition cherchée est exprimée par

${\frac {\int y'z'dm}{\int y'dm}}={\frac {\int x'z'dm}{\int x'dm}}.$

Comme on peut toujours prendre pour axes des $x'$ et des $y'$ deux droites perpendiculaires à cette ligne et rectangulaires entre elles, dans des directions telles, qu’outre les deux équations ci-dessus, on ait de plus $\int x'y'dm=0,$ la ligne passant par le point $A,$ qui satisfera à la condition précédente sera un axe permanent relativement au point $O$ déterminé par la condition $AO=r,$ puisqu’on aura pour ce point

$\int x'(z'-r)dm=0,\quad \int y'(z'-r)dm=0,\quad \int x'y'dm=0.$

On voit en même temps, par ces formules, pourquoi, quand le point $A$ est le centre d’inertie, il n’y a’que deux sortes de lignes qui puissent y passer ; car alors $\int x'dm=0,$ $\int y'dm=0,$ ce qui donne

${\begin{aligned}\int x'(z'-r)dm&=\int x'z'dm,\\\int y'(z'-r)dm&=\int y'z'dm,\end{aligned}}$

en sorte que si la ligne est un axe permanent pour le point $A,$ elle le sera aussi pour tous les autres points pris sur son cours,