quer, c’est la voie qui a conduit M. Saint-Guilhem à l’emploi des fonctions elliptiques complémentaires. Quand on dispose de deux relations entre les coordonnées x et y d’une courbe plane et une valeur auxiliaire α, on cherche ordinairement à éliminer l’auxiliaire entre les deux équations, pour obtenir celle de la courbe. L’élimination n’a pas toujours le degré d’utilité qu’on suppose, car elle amène souvent des complications qui sont loin d’abréger les calculs numériques. Les mêmes considérations s’appliquent au cas des équations différentielles. Or, dans le problème des arches de pont, on se trouve en présence d’équations où figure l’angle α des plans de joint avec la verticale et la différentielle de cet angle. Si l’on effectue l’élimination de et entre ces équations, on parvient à une expression de dx en fonction de dy, qui se réduit aux fonctions elliptiques, par la méthode enseignée dans les Traités spéciaux et que nous avons suivie. Cette méthode exige des développements analytiques tres étendus ; en outre, les résultats ne sont pas dégagés de l’emploi de toute quantité auxiliaire, puisque l’on introduit nécessairement l’expression de l’amplitude en fonction de y, et que x devient une fonction de : l’élimination d’une auxiliaire ne se réalise ainsi que par l’introduction d’une nouvelle variable. Au contraire, si l’on s’abstient d’éliminer l’angle , on obtient aisément une valeur de y en fonction de , et celle de x se trouve presque immédiatement ramenée aux fonctions elliptiques, avec cette circonstance que l’amplitude de ces fonctions est liée à l’angle par une relation tres simple.
D’après cet exposé, il semblerait tout naturel de renvoyer au Mémoire de M. Saint-Guilhein : plusieurs motifs s’y opposent. En premier lieu, nous tenons à résoudre le problème tel que nous l’avons posé, tandis que, en vue de simplifications, M. Saint-Guilhem en a modifié quelques conditions. D’un autre côté, cet ingénieur a négligé, dans les équations différentielles, des termes d’un ordre que nous conservons. Or chacun sait que, les conséquences d’un calcul d’intégration n’étant pas toujours prévues, il est plus prudent de ne supprimer les petits termes que dans les résultats de l’intégration, où l’influence définitive de ces termes peut être nettement appréciée. (Nous avons tenu à conserver, dans les expressions différentielles, les termes du premier et du second ordre de petitesse.) Enfin l’analyse de M. Saint-Guilhem se borne au cas où le massif qui charge la voûte a la même densité que les voussoirs, tandis que nos formules laissent le rapport des densités entièrement arbitraire.
La considération des termes du premier et du second ordre n’augmente pas notablement l’étendue des développements analytiques. On reconnaîtra d’ailleurs que, dans le cas ou la différence des densités est elle-même du premier ordre de petitesse, les expressions des coordonnées en fonction de l’angle se
