ou celle-ci :
![{\displaystyle u=a_{1}e^{-n_{1}^{2}\mathrm {K} t}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-n_{2}^{2}\mathrm {K} t}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-n_{3}^{2}\mathrm {K} t}\sin ..n_{3}x+{\text{etc}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1beecc36a9edbd9c47003a8179b0cc1b8208e0)
etc.,
etc. étant deux séries de constantes arbitraires. Il est aisé de voir que chacun de ces termes équivaut à l’intégrale
![{\displaystyle \int dq\,e^{-q^{2}}\sin .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca34e85b50bdbb0c99e674171d6a3948eeb5fae)
ou
![{\displaystyle \int dq\,e^{-q^{2}}\cos .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea395d25dbe205f10ac40cf3be0ad102f4b6d463)
En effet pour déterminer la valeur de l’intégrale
![{\displaystyle \int dq\,e^{-q^{2}}\sin .n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca34e85b50bdbb0c99e674171d6a3948eeb5fae)
on lui donnera la forme suivante :
![{\displaystyle \int \left(dqe^{-q^{2}}\sin .x.\cos .2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)+\int \left(dqe^{-q^{2}}\cos .x.\sin .2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5822c414902e33ce971e8990947ce7364f431d6e)
ou celle-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int dqe^{-q^{2}}\sin .x\left({\frac {1}{2}}e^{2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}+{\frac {1}{2}}e^{-2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}\right)\\+&\int dqe^{-q^{2}}\cos .x\left({\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}e^{2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}e^{-2q{\sqrt {-\mathrm {K} t}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e05fe46a6cc952c52222f31f7d637c6e138d999)
qui équivaut à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&e^{-\mathrm {K} t}\sin .x\left({\frac {1}{2}}\int dqe^{-\left(q-{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}+{\frac {1}{2}}\int dqe^{-\left(q+{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}\right)\\+&e^{-\mathrm {K} t}\cos .x\left({\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dqe^{-\left(q-{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int dqe^{-\left(q+{\sqrt {-\mathrm {K} t}}\right)^{2}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f538d35c6faada64eeae8b7b39fabf4f0bf951)