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demment résolu la même question par une analyse différente, et l’on était parvenu, en supposant $\alpha =1,$ à l’équation

$v={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx.\sin .q.e^{-q^{2}Kt}$

(voy. page 490, art. 67). Pour comparer ces deux résultats on supposera dans l’un et dans l’autre $x=0.$ Désignant encore par $\operatorname {\varphi } (\mathrm {R} )$ l’intégrale ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dre^{-r^{2}}$ prise de $r=0$ à $r=\mathrm {R} ,$ on a

${\begin{aligned}v&=e^{-ht}\left[\psi \left({\frac {-\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)-\psi \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\right]=e^{-ht}2\operatorname {\varphi } \left({\frac {\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\\&={\frac {2e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {\mathrm {P} }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}-{\frac {1}{1}}.{\frac {1}{3}}\left({\frac {\mathrm {Q} }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.2}}.{\frac {1}{5}}\left({\frac {\mathrm {R} }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)^{5}-{\text{etc}}.\right].\end{aligned}}$

D’un autre côté on doit avoir

${\begin{aligned}v&={\frac {2e^{-ht}}{\pi }}\int {\frac {dq}{q}}\sin .q.e^{-q^{2}\mathrm {K} t}\\&={\frac {2}{\pi }}e^{-ht}\int dq\,e^{-q^{2}\mathrm {K} t}\left(1-{\frac {q^{2}}{2.3}}+{\frac {q^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {q^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$

Or l’intégrale $\int due^{-u^{2}}u^{2m}$ prise de $u=0$ à $u={\frac {1}{0}},$ a une valeur connue : $m$ étant un nombre entier positif on a en général

$\int due^{-u^{2}}u^{2m}={\frac {3.5\ldots (m-1)}{2^{m+1}}}{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}.{\frac {3}{2}}.{\frac {5}{2}}.{\frac {7}{2}}\ldots {\frac {2m-1}{2}}.{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

L’équation précédente donne donc, en faisant $q^{2}\mathrm {K} t=n^{2},$