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La seconde partie de la valeur de $v$ est

${\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}.e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\int dqe^{-q^{2}}.e^{2q{\sqrt {ht}}}.$

ou

$e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\int dqe^{-\left(q-{\sqrt {ht}}\right)^{2}}$

ou

$e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\int dre^{-r^{2}},$

en faisant $r=q-{\sqrt {ht}}.$ L’intégrale doit être prise de

$q={\frac {-x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad q=-{\frac {1}{0}},$

ou de

$r=-{\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad r=-{\frac {1}{0}}.$

ou de

$r={\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\quad {\text{à}}\quad r={\frac {1}{0}}.$

On en conclut l’expression suivante :

$v=e^{-x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\psi \left({\sqrt {ht}}-{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)+e^{x{\sqrt {\frac {h}{\mathrm {K} }}}}\psi \left({\sqrt {ht}}+{\frac {x}{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right).$

On a obtenu (page 517, art. 77) l’équation

$v=e^{-ht}\left[\psi \left({\frac {-x-\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)-\psi \left({\frac {-x+\alpha }{2{\sqrt {\mathrm {K} t}}}}\right)\right]$

pour exprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données $x=-\alpha$ et $x=\alpha .$ On avait précé-