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de la diffusion de la chaleur, qui dépend aussi de l’intégration de l’équation

${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-hv.$

On représentera par $\operatorname {\textit {f}} (x)$ la température initiale d’un point de la ligne, placé à la distance $x$ de l’origine ; et l’on cherchera à déterminer quelle doit être la température de ce même point après un temps $t.$ Faisant $v=e^{-ht}z,$ on aura

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}.$

et par conséquent

$z=\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } (x+2q{\sqrt {\mathrm {K} }}t.$

Lorsque $t=0$ on doit avoir

$v=\operatorname {\textit {f}} x=\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } x,$

ou

$\operatorname {\varphi } x={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {\textit {f}} x\,;$

donc

$v={\frac {e^{-ht}}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\textit {f}} \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} }}t\right)$

77. Pour appliquer cette expression générale au cas où une partie de la ligne, depuis $x=-\alpha$ jusqu’à $x=\alpha ,$ est uniformément échauffée, tout le reste du solide étant à la température $0;$ il faut considérer que le facteur $\operatorname {\textit {f}} \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} }}t\right)$ qui multiplie $e^{-q^{2}},$ a, selon l’hypothèse, une valeur constante $1$ lorsque la quantité qui est sous le signe de la fonction est comprise entre $-\alpha$ et $\alpha ,$ et que toutes les autres valeurs de