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4^o Pour comparer les quantités de chaleur qui traversent pendant un instant infiniment petit une section $\mathrm {S} ,$ placée dans l’intérieur du solide, à la distance $x$ du plan échauffé, on prendra la valeur de la quantité $-\mathrm {KS} {\frac {dv}{dx}},$ et l’on aura

$-\mathrm {KS} {\frac {dv}{dx}}={\frac {\mathrm {K} }{{\sqrt {\pi }}.2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\left[1-{\frac {1}{1}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right)^{2}+{\frac {1}{1.2}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right)^{4}\right.$

$\left.-{\frac {1}{1.2.3}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right]={\frac {\mathrm {S} }{2}}.{\frac {\mathrm {{\sqrt {CD}}.{\sqrt {K}}} }{{\sqrt {\pi }}.{\sqrt {t}}}}e^{-\left({\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right)^{2}}\,;$

ainsi l’expression de la quantité ${\frac {dv}{dt}}$ est entièrement dégagée du signe intégral. La valeur précédente, à la surface du solide échauffé, est

${\frac {1}{2}}\mathrm {S} {\frac {\mathrm {{\sqrt {CD}}.{\sqrt {K}}} }{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}.$

ce qui fait connaitre comment le flux de chaleur à la surface varie avec les quantités $\mathrm {C,\,K}$ et $t.$ Pour trouver la quantité de chaleur que le foyer fournit au solide pendant un temps écoulé $t,$ on prendra l’intégrale

$\int {\frac {1}{2}}\mathrm {S} {\frac {\mathrm {{\sqrt {CD}}.{\sqrt {K}}} }{\sqrt {\pi }}}.{\frac {t}{\sqrt {t}}},$

ou

$\mathrm {S} {\frac {\mathrm {\sqrt {CD}} .\mathrm {\sqrt {K}} .{\sqrt {t}}}{\sqrt {\pi }}}.$

Ainsi la chaleur acquise croit proportionnellement à la racine quarrée du temps écoulé.

76. On peut traiter par une analyse semblable la question