Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/868

et

$\operatorname {\psi } (-\mathrm {R} )={\frac {1}{2}}+\operatorname {\varphi } (\mathrm {R} )\,:$

donc

$\operatorname {\psi } (-\mathrm {R} )-\operatorname {\psi } (\mathrm {R} )=2\operatorname {\varphi } (\mathrm {R} ),$

et

$v=1-2\varphi \left\{{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right\}\,;$

et en développant l’intégrale $\operatorname {\varphi } (R),$ on a

$\operatorname {\varphi } (\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {\left[R-{\frac {1}{1}}.{\frac {1}{3}}R^{3}+{\frac {1}{1.2}}.{\frac {1}{5}}R^{5}-{\frac {1}{1.2.3}}.{\frac {1}{7}}R^{7}+etc.\right]} .$

Donc

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}v{\sqrt {\pi }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}&+{\frac {1}{1}}{\frac {1}{3}}\left\{{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right\}^{3}\\&+{\frac {1}{1.2}}{\frac {1}{5}}\left\{{\frac {x}{2{\sqrt {\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {CD} }}}}}\right\}^{5}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

1^o Si l’on suppose $x$ nulle, quelle que soit d’ailleurs la valeur de $t,$ on trouvera $v=1,$ ce qui est conforme à l’hypothèse : 2^o si $x$ n’étant point nulle, on suppose $t=0,$ la somme des termes qui contiennent $x$ représente l’intégrale $\int dre^{-r^{2}}$ prise de $r=0$ à $r={\frac {1}{0}},$ et par conséquent équivaut à ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$ Donc $v$ est nulle, ce qui a lieu en effet dans l’état initial.

3^o Différends points du solide placés à des profondeurs différentes $x_{1},x_{2},x_{3},$ etc. parviennent à une même température après des temps différents $t_{1},t_{2},t_{3},$ etc., qui sont proportionnels aux quarrés des longueurs $x_{1},x_{2},x_{3},$ etc.,