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$e^{-x}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}e^{-2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}},$

ou bien à

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}.e^{-\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}.$

On pourrait aussi supposer $u$ égale à la fonction

$ae^{-nx}.e^{\mathrm {K} n^{2}t},$

$a$ et $n$ étant deux constantes quelconques ; et l’on trouvera de même que cette fonction équivaut à

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}.ae^{-n\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}.$

On prendra donc pour valeur générale de $u$ la somme d’une infinité de valeurs semblables, et l’on aura :

$u=\int dqe^{-q^{2}}\left[a_{1}e^{-n_{1}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}+a_{2}e^{-n_{2}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}+a_{3}e^{-n_{3}\left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right)}+{\text{etc}}.\right].$

Les constantes $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc. et $n_{1},n_{2},n_{3},$ etc. étant indéterminées, la série est l’expression d’une fonction quelconque de $x+2q{\sqrt {\mathrm {Kt} }}\,:$ on a donc

$u=\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).$

L’intégrale doit être prise de $q=-{\frac {1}{0}}$ à $q=+{\frac {1}{0}}.$ Cette valeur de $u$ satisfait nécessairement à l’équation

${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$

on en conclut

$z=e^{-ht}\int dqe^{-q^{2}}\operatorname {\varphi } \left(x+2q{\sqrt {\mathrm {K} t}}\right).$