On pourrait encore déduire des équations la solution de la question suivante, qui appartient aussi à l’analyse des différences partielles : quelle est la fonction de la variable qui doit être placée sous le signe intégral, pour que l’expression soit égale à une fonction donnée, l’intégrale étant prise de nulle à infinie ? Les équations précédentes fournissent diverses autres conséquences utiles à l’analyse ; mais on ne pourrait les développer ici, et faire connaitre les limitations auxquelles elles sont sujettes, sans s’écarter beaucoup de l’objet principal. Au reste, ces limitations sont celles que nous avons remarquées pour les équations des pages 300, 308, 328, 398 ; car les équations ne sont autre chose que les précédentes où l’on supposerait la dimension infinie. Les théorèmes exprimés par ces équations sont très-remarquables, 1o parce qu’ils conviennent évidemment à un nombre quelconque de variables ; 2o parce qu’il suffit de supposer les dimensions infinies pour représenter la diffusion libre de la chaleur, soit qu’elle s’opère selon une, deux ou trois dimensions.
72. On peut aussi résoudre la question de la propagation de la chaleur dans une ligne infinie, en donnant à l’intégrale de l’équation aux différences partielles une forme déjà connue, qui présente une fonction arbitraire sous le signe de l’intégrale définie.
Supposons que la chaleur initiale étant répartie d’une manière quelconque dans la barre infinie (fig. 13), on entretienne le point à une température constante, tandis qu’une partie de la chaleur communiquée se dissipe par la surface extérieure : il s’agit de déterminer l’état du prisme après un
