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ou

$\mu \nu ={\frac {1}{2}}\pi .$

Ainsi le produit des deux transcendantes

$\int du.u^{r}\sin .u\quad {\text{et}}\quad \int {\frac {du}{u.u^{r}}}\sin .u$

est ${\frac {1}{2}}\pi .$ Par exemple si $r=-{\frac {1}{2}},$ on trouve pour $\int {\frac {du\sin .u}{\sqrt {u}}}$ sa valeur connue

${\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}.$

On trouve de la même manière

$\int {\frac {du\cos .u}{\sqrt {u}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}\,;$

et de ces deux équations on pourrait aussi conclure la suivante

$\int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$

l’intégrale étant prise de $t=0$ à $t={\frac {1}{0}},$ qui est employée depuis long-temps. En effet on a

$\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}\cos .x+{\sqrt {-1}}\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}\sin .x$

ou

$2\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}e^{x{\sqrt {-1}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi }}\left(1+{\sqrt {-1}}\right)\,;$

et faisant $x{\sqrt {-1}}=-t,$ on trouve

$\int dte^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$