Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/851

On désignera par $n$ un nombre infini égal à ${\frac {1}{dq}},$ et par $q$ une quantité variable formée successivement par l’addition de ses parties infiniment petites égales à $dq.$ On représentera le nombre variable $i$ par ${\frac {q}{dq}}.$ Si maintenant dans le terme général

${\frac {1}{2i+1}}\sin .(2i+1).{\frac {u}{n}},$

on met pour $i$ et $n$ leurs valeurs, ce terme deviendra

${\frac {2dq}{q}}\sin .qu\,;$

donc la somme de la série sera

$2\int {\frac {dq}{q}}\sin .qu,$

l’intégrale étant prise de $q=0$ à $q={\frac {1}{0}}.$ On a donc l’équation

${\frac {1}{2}}\pi =\int {\frac {dq}{q}}\sin .2qu,$

qui a toujours lieu quelle que soit la valeur positive de $u.$ Soit $2qu=r,$ $r$ étant une nouvelle variable, on aura

${\frac {dq}{q}}={\frac {dr}{r}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}\pi =\int {\frac {dr}{r}}\sin .r.$

On sait que la valeur de l’intégrale definic $\int {\frac {dr}{r}}\sin .r,$ de $r=0$ à $r={\frac {1}{0}},$ est en effet ${\frac {1}{2}}\pi .$ Si l’on prenait cette même intégrale de $r=0$ à $r=-{\frac {1}{0}},$ on aurait un résultat de signe