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et $-1\,:$ mais cette fonction est nulle, si l’on donne à $x$ toute autre valeur non comprise entre $1$ et $-1.$ On voit par là que les fonctions discontinues peuvent aussi être exprimées en intégrales définies

68. Pour donner une seconde application de la formule précédente, nous supposerons que la barre a été échauffée en un de ses points par l’action constante du même foyer, et qu’elle est parvenue à l’état permanent, que l’on sait être représenté par une courbe logarithmique (fig. 11). Il s’agit de connaître suivant quelle loi s’opérera la diffusion de la chaleur après qu’on aura retiré le foyer. En désignant par $(v)$ la valeur initiale de la température, on aura

$(v)=\mathrm {A} e^{-x{\sqrt {\mathrm {\frac {HL}{KS}} }}}\,;$

$\mathrm {A}$ est la température constante du point le plus échauffé. On fera, pour plus de simplicité,

$\mathrm {A} =1\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {HL}{KS}} =1\,;$

on a donc

$\operatorname {\varphi } x=e^{-x}.$

On en déduit

$\mathrm {Q} =\int dx.e^{-x}\cos .qx\,;$

et prenant l’intégrale de $x$ nulle à $x$ infinie, $\mathrm {Q} ={\frac {1}{1+q^{2}}}.$ Ainsi la valeur de $v$ en $x$ et $t$ est donnée par l’équation suivante :

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq\cos .qx}{1+q^{2}}}.e^{-\mathrm {K} q^{2}t}.$