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la valeur que l’on vient de trouver pour la fonction $\mathrm {Q} ,$ on aura l’intégrale suivante, qui contient la solution générale de la question proposée,

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int dq\cos .qx.e^{-\mathrm {K} q^{2}t}\int dx\operatorname {\varphi } x.\cos .qx.$

L’intégrale étant d’abord prise par rapport à $x$ de $x$ nulle à $x$ infinie, il en résulte une fonction de $q;$ et prenant ensuite l’intégrale de $q$ nulle à $q$ infinie, on obtient pour $v$ la fonction de $x$ et $t$ qui représente les états successifs du solide.

67. Supposons en premier lieu que toutes les températures initiales des points compris entre $a$ et $b$ (fig. 10), depuis $x=1$ jusqu’à $x=-1,$ aient pour valeur commune $1,$ et que les températures de tous les autres points soient nulles. La fonction $\operatorname {\varphi } x$ sera donnée par cette condition ; il faudra intégrer par rapport à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ car le reste de l’intégrale est nulle par l’hypothèse. On trouvera ainsi

$\mathrm {Q} ={\frac {2}{\pi }}.{\frac {\sin .q}{q}},$

et

${\frac {\pi v}{2}}=e^{-ht}\int {\frac {dq}{q}}\cos .qx.\sin .q.e^{-q^{2}\mathrm {K} t}.$

Le deuxième membre peut être facilement converti en série convergente, comme on le verra par la suite ; il représente exactement l’état du solide en un instant donne, et si l’on y fait $t=0,$ on exprime l’état initial.

Ainsi la fonction ${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\sin .q.\cos .^{2}qx}{q}}$ équivaut à l’unité, si l’on donne à $x$ une valeur quelconque comprise entre $1$