et
sont des constantes arbitraires. Soient
etc., une suite de valeurs quelconques de
et
etc., une suite de valeurs correspondantes du coëfficient
on aura
![{\displaystyle z=a_{1}\cos .q_{1}x.e^{-\mathrm {K} q_{1}^{2}t}+a_{2}\cos .q_{2}x.e^{-\mathrm {K} q_{2}^{2}t}+a_{3}\cos .q_{3}x.e^{-\mathrm {K} q_{3}^{2}t}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7140be871217ec144278c21050fc97ed32f7dd1a)
etc.
Supposons maintenant 1o que les valeurs
etc. croissent par degrés infiniment petits, comme les abscisses
d’une certaine courbe, en sorte qu’elles deviennent égales à
etc.,
étant la différentielle constante de l’abscisse ; 2o que les valeurs
etc. sont proportionnelles aux ordonnées
de la même courbe, et qu’elles deviennent égales à
etc.,
étant une certaine fonction de
Il en résulte que la valeur de
pourra être exprimée ainsi
![{\displaystyle z=\int dq\mathrm {Q} \cos .qx.e^{-\mathrm {K} q^{2}t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29df17dd92dfb9b1e56f54dbbc343aadb8a85db)
est une fonction
entièrement arbitraire, et l’intégrale peut être prise de
à
Toute la difficulté se réduit à déterminer convenablement la fonction arbitraire
Pour y parvenir, il faut, en désignant par
les températures initiales des différents points de la barre, supposer
nulle dans l’expression de
et l’égaler à
on a ainsi l’équation de condition
![{\displaystyle \operatorname {\varphi } x=\int dq\mathrm {Q} \cos .qx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d029057a9cb0c7dda1c6bf55f5e805c300ff9a00)
Si l’on mettait au lieu de
une fonction quelconque de
et que l’on achevât l’intégration depuis
jusqu’à ![{\displaystyle q={\frac {1}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b31e82d8d27e81eab50e668c2f9412eeb9654f)