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65. Proposons-nous maintenant de comparer la vitesse du refroidissement dans le cube à celle que l’on a trouvée pour une masse sphérique.

Nous avons vu que pour l’un et l’autre de ces corps le système des températures converge vers un état durable, qu’il atteint sensiblement après un certain temps. Alors les températures des différents points du cube diminuent toutes ensemble en conservant les mêmes rapports, et chacune d’elles en particulier décroit comme les termes d’une progression géométrique. Il en est de même de la sphère solide ; mais la raison de la progression géométrique n’est pas la même dans les deux corps. Il résulte des deux solutions que pour la sphère la raison est $e^{-\mathrm {K} n^{2}},$ et pour le cube $e^{-3\mathrm {K} {\frac {\varepsilon ^{2}}{a^{2}}}}.$ La quantité $n$ est donnée par l’équation

${\frac {na\cos .na}{\sin .na}}=1-{\frac {ha}{\mathrm {K} }},$

$a$ étant le demi-diamètre de la sphère.

Cela posé, on considérera deux cas différents : celui où le rayon de la sphère et le côté du cube sont l’un et l’autre égaux à $a,$ quantité très-petite ; et celui où la même quantité $a$ est très-grande. La quantité $\varepsilon$ est donnée par l’équation

$\varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {ha}{\mathrm {K} }},$

ou

${\frac {na\sin .na}{\cos .na}}={\frac {ha}{\mathrm {K} }}.$

Supposons d’abord que les deux corps ont une petite dimension : ${\frac {ha}{\mathrm {K} }}$ ayant une très-petite valeur, il en sera de mème de $\varepsilon :$