car les trois intégrales totales ont une valeur commune. Donc
![{\displaystyle \mathrm {V} =\left\{{\frac {\sin .(n_{1}a)^{2}}{(n_{1}a)^{2}\mu _{1}}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .(n_{2}a)^{2}}{(n_{2}a)^{2}\mu _{2}}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .(n_{3}a)^{2}}{(n_{3}a)^{2}\mu _{3}}}e^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc}}.\right\}^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43649500965c7f8678b8e32c918e2d100aa68b49)
La quantité
est représentée plus haut par
qui est une racine de l’équation
et
est égale à
On a donc, en désignant les différentes racines de cette équation par
etc.,
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {\sqrt[{3}]{V}} =\left({\frac {\sin .\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}}}\right)^{2}{\frac {e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{a^{2}}}t}}{1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{1}}{2\varepsilon _{1}}}}}&+\left({\frac {\sin .\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}}}\right)^{2}{\frac {e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{a^{2}}}t}}{1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{2}}{2\varepsilon _{2}}}}}\\&+\left({\frac {\sin .\varepsilon _{3}}{\varepsilon _{3}}}\right)^{2}{\frac {e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{3}^{2}}{a^{2}}}t}}{1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{3}}{2\varepsilon _{3}}}}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c72e7b0f82bab27d8e10127dd3e6452dd4485d8)
est entre
et
entre
et
entre
et
etc. : les moindres limites
etc. approchent de plus en plus des racines
etc., et finissent par se confondre avec elles lorsque l’indice
est très-grand. Les arcs doubles
etc., sont compris entre
et
entre
et
entre
et
etc.; c’est pourquoi les sinus de ces arcs sont tous positifs. Les quantités
![{\displaystyle 1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{1}}{2\varepsilon _{1}}},\quad 1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{2}}{2\varepsilon _{2}}},\quad 1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{3}}{2\varepsilon _{3}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee1168675b0f057e4b2b819e3cda803d95f6c1d)
etc.,
sont positives et comprises entre
et
Il résulte de là que tous les termes qui entrent dans la valeur de
sont positifs.