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dans laquelle le second membre est égal au produit de trois facteurs séparés.

On voit par là que la valeur de $v$ est égale au produit de trois fonctions semblables, l’une de $x,$ l’autre de $y,$ la troisième de $z;$ on aurait pu arriver directement à cette conclusion de la manière suivante.

Dans l’équation ${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right]$ on supposera $v=\mathrm {XYZ} ,$ en denotant par $\mathrm {X}$ une fonction de $x$ et $t$ seulement, par $\mathrm {Y}$ une fonction de $y$ et $t,$ par $\mathrm {Z}$ une fonction de $z$ et $t:$ on aura

$\mathrm {XY} {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {XZ} {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {YZ} {\frac {d\mathrm {X} }{dt}}=\mathrm {K} \left[\mathrm {XY} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}}+\mathrm {XZ} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}}+\mathrm {YZ} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\right]$

On prendra les trois équations séparées

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}=&\mathrm {K} {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dz^{2}}},\\{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}=&\mathrm {K} {\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dy^{2}}},\\{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}=&\mathrm {K} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dz^{2}}}.\end{aligned}}$

De plus on doit avoir pour la surface ces équations de condition,

${\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}+hv=&0.\end{aligned}}$

qui fournissent celles-ci :