l’on peut prendre pour
Nous désignerons ces racines, en commençant par la plus petite, par
etc. Ainsi on pourra prendre pour
la valeur particulière donnée par l’équation
![{\displaystyle v=ae^{-\mathrm {K} t\left(n^{2}+p^{2}+q^{2}\right)}.\cos .nx.\cos .py.\cos .qz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a8faa70e773e3d8d3d899b942b95d9e9ecc023)
pourvu que l’on mette au lieu de
une quelconque des quantités
etc.
On peut former ainsi une infinité de valeurs particulières de
et il est visible que la somme de plusieurs de ces valeurs, en nombre quelconque, donnera encore une valeur de
De plus l’équation de condition
sera également satisfaite par la somme des valeurs particulières. On reconnait d’après cela que l’on peut former une valeur de
aussi générale que notre question l’exige, en réunissant un nombre indéfini de valeurs particulières. Nous prendrons pour cette valeur générale celle qui est donnée l’équation suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}v=&\left(\mathrm {A} _{1}\cos .n_{1}xe^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+\mathrm {A} _{2}\cos .n_{2}xe^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+\mathrm {A} _{3}\cos .n_{3}xe^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\&\left(\quad \ \ \cos .n_{1}ye^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+\quad \;\cos .n_{2}ye^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+\quad \;\cos .n_{3}ye^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\&\left(\quad \ \ \cos .n_{1}ze^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+\quad \;\cos .n_{2}ze^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+\quad \;\cos .n_{3}ze^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794a3a693ef6ac720f51db6760ef560caa51047e)
Le second membre doit se former par le produit des trois facteurs écrits dans les trois lignes horizontales, et les quantités
etc. sont des coëfficients absolument arbitraires. Or selon l’hypothèse, si l’on fait
cette valeur de
doit être la même pour tous les points du cube : il faut donc déterminer
etc. en sorte que la valeur de
soit