X.
Du mouvement varié de la chaleur dans un solide de forme cubique.
62. Nous allons présentement considérer l’équation
![{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3b0234a6ff6ad361d07348c88947f10ea570ae)
qui exprime le mouvement de la chaleur dans un solide de forme cubique exposé à l’action de l’air.
On supposera
et en substituant dans la proposée on aura l’équation de condition
![{\displaystyle m=\mathrm {K} \left[n^{2}+p^{2}+q^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee3811036bae821f06fdbd503c18e1b9cc45d96)
Il suit de la que si l’on met au lieu de
des quantités quelconques, et si on prend pour
la quantité
la valeur précédente de
satisfera toujours à l’équation aux différences partielles. On aura donc pour une solution particulière l’équation
![{\displaystyle v=e^{-\mathrm {K} \left(n^{2}+p^{2}+q^{2}\right)t}.\cos .nx\cos .py\cos .qz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291e1400ccb366a2797c418e76840943efeaae7f)
L’état de la question exige aussi que si
change de signe,
et
demeurant les mêmes, la valeur de
ne change point, et que cela ait aussi lieu par rapport à
et à
Or cette condition est remplie par la valeur de
Enfin les conditions relatives à l’état de la surface sont exprimées par les équations suivantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}+hv=&0,\\\mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}+hv=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ee6c45744b69b1eac8d4a032a07c531f2a1977)