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donne à $y$ dans $v$ sa valeur $l,$ et que l’on intègre une fois depuis $z=0$ jusqu’à $z=l,$ et une seconde fois depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {1}{0}},$ on aura la quatrième partie de la chaleur qui s’échappe par les surfaces latérales.

L’intégrale $h\int dx\int dy.v$ étant prise entre les limites désignées, donne

${\frac {ha}{m{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\sin .ml\cos .nl\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}},$

et l’intégrale $h\int dx\int dz.v$ donne

${\frac {ha}{n{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\cos .ml\sin .nl\,e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.$

Donc la quantité de chaleur que le prisme perd à la surface dans toute la partie située à droite de la section dont l’abscisse est $x,$ se compose de tous les termes analogues à celui-ci

${\frac {4ha}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}\left[{\frac {1}{m}}\sin .ml\cos .nl+{\frac {1}{n}}\cos .ml\sin .nl\right].$

D’un autre coté, la quantité de chaleur qui pénètre pendant le même temps à travers la section dont l’abscisse est $x,$ se compose de termes analogues à celui-ci

${\frac {4\mathrm {K} a{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}{m.n}}e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.\sin .ml.\sin .nl.$

Il ne reste donc qu’à examiner si l’on a l’équation

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {K} {\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}{m.n}}\sin .ml\sin .nl&={\frac {h}{m{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\sin .ml\cos .nl\\&+{\frac {h}{n{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}\cos .ml\sin .nl,\end{aligned}}$