Il est facile de voir que lorsque le prisme a acquis dans tous ses points les températures stationaires que nous considérons, il existe dans chaque section perpendiculaire à l’axe un flux uniforme de chaleur qui se porte vers l’extrémité non échauffée. Pour déterminer la quantité de ce flux qui répond à une abscisse, il faut considérer que celle qui traverse pendant l’unité de temps un élément de la section est égale au produit du coëfficient
de l’aire
de l’élement, et du rapport
pris avec un signe contraire. Il faudra donc prendre l’intégrale
depuis
jusqu’à
demi épaisseur de la barre, et ensuite depuis
jusqu’à
on aura ainsi la quatrième partie du flux total.
La valeur générale de
est composée de termes dont chacun est de cette forme,
![{\displaystyle a\cos .my\cos .nz.e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4bcee9c67cbaed68b3a1e5256b699479351114)
satisfait à l’équation
![{\displaystyle ml\operatorname {tang} .ml={\frac {hl}{\mathrm {K} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2003cc93c0aaa9d60b646f02c0b65016557c9e99)
et
satisfait à la même équation
![{\displaystyle nl\operatorname {tang} .nl={\frac {hl}{\mathrm {K} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaaf44e561f46e2f553bd84eee3309ad3f118369)
Le différentiel
sera formé de termes pareils à
![{\displaystyle -a{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}.\cos .my\cos .nz.e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d18f4b8cb71f40599bc19595045b2cba272653f)
l’intégrale cherchée donnera
![{\displaystyle a{\frac {\mathrm {K} }{m.n}}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}.\sin .ml\sin .nl.e^{-x{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b97d34af6f9bd213df9cf16cde6208a585ef79e)