La première a lieu toutes les fois que les nombres
et
sont différents, et la seconde lorsque ces nombres sont égaux.
Nous reprendrons l’équation
![{\displaystyle \varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\ldots +a_{i}u_{i}+\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616397fcdc02fcbd19c3cda80c72083a7b04f6c2)
dans laquelle il faut déterminer les coëfficients
etc. Pour trouver un de ces coëfficients désigné par
on multipliera les deux membres de l’équation par
et l’on intégrera depuis
jusqu’à
Le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l’on aura l’équation
![{\displaystyle 2\int \left(xu_{i}\varphi xdx\right)=a_{i}\mathrm {R^{2}U} _{i}^{2}\left[1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf3c0fcf8753162b528bb2c56a75997a45cb3fd)
qui donne la valeur de
Les coëfficients
etc., étant ainsi déterminés, la condition exprimée par l’équation
![{\displaystyle \varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291eac63d0f878bd3dcbae846a059c5638d81ca5)
qui se raporte à l’état initial, sera remplie.
56. Nous pouvons maintenant donner la solution complète de la question proposée. Elle est exprimée par l’équation suivante :
![{\displaystyle {\frac {v\mathrm {R} ^{2}}{2}}={\frac {\int (x\varphi x.u_{1}dx)}{\mathrm {U} _{1}^{2}\left[1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{1}}}}}\right)^{2}\right]}}u_{1}.e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {R} ^{2}}}\theta _{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6854f67621991a4778577f5a773f761d2058b4)
![{\displaystyle +{\frac {\int (x\varphi x.u_{2}dx)}{\mathrm {U} _{2}^{2}\left[1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{2}}}}}\right)^{2}\right]}}u_{2}.e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {R} ^{2}}}\theta _{2}}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b2896e2719cc4c3dfd4aadae8bbc4694422dae)
La fonction de
qui est représentée par
dans l’équation précédente, a pour expression