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ou, faisant $\lambda ={\frac {h}{\mathrm {K} }},$

$\lambda \psi +\mu \psi '=0\,;$

ce qui donnera

$\left(\mu ^{2}-{\frac {\lambda }{x}}\right)\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0.$

On pourra donc éliminer, dans l’intégrale qu’il s’agit d’évaluer, les quantités et $\psi '$ et $\psi ''\,:$ on trouvera ainsi pour la valeur de l’intégrale cherchée,

$\mathrm {\frac {R^{2}\psi ^{2}}{2}} \left({\frac {\mu ^{2}+\lambda ^{2}}{\mu ^{2}}}\right);\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {R^{2}U_{i}^{2}} }{2}}\left(1+{\frac {h^{2}}{\mathrm {K} m_{i}}}\right),$

en mettant pour $\mu$ et $\lambda$ leurs valeurs, et désignant par $\mathrm {U} _{i}$ la valeur que prend la fonction $u$ ou $\psi \left(x{\sqrt {\frac {m_{i}}{\mathrm {K} }}}\right)$ lorsqu’on suppose $x=\mathrm {R} .$ $i$ est l’indice qui désigne le rang de la racine $m$ de l’équation déterminée qui donne une infinité de valeurs de $m$. Si l’on substitue $m_{i}$ ou $\mathrm {\frac {2^{2}K}{R^{2}}} \theta _{i},$ dans

on aura

${\frac {\mathrm {R^{2}U_{i}^{2}} }{2}}\left\{1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right\}.$

Il résulte de l’analyse précédente que l’on a les deux équations

$\int \left(x\,u_{j}u_{i}dx\right)=0,$

et

$\int \left(x\,u_{i}^{2}dx\right)={\frac {\mathrm {R^{2}U_{i}^{2}} }{2}}\left\{1+\left({\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} {\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right\}.$