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et comparant les deux valeurs de ${\frac {h\mathrm {R} }{2\mathrm {K} }},$ on voit que le second membre de l’équation precedente $(f)$ s’évanouit.

Il suit de là qu’après que l’on a multiplié par $\sigma dx$ les deux termes de l’équation

$\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\cdots +a_{i}u_{i}+\mathrm {etc.} ,$

et intégré de part et d’autre depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {R} ,$ chacune des intégrales definies qui composent le second membre s’évanouit : il suffit de prendre pour $\sigma$ la quantité $xu,$ ou $x\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right).$ Il faut excepter le seul cas où $n$ est égale à $m.$ Alors la valeur de $\int (\sigma \,udx),$ tirée de l’équation $(f),$ se réduit à ${\frac {0}{0}},$ et on la détermine par les règles connues.

Soit ${\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}=\mu$ et ${\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}=\nu \,:$ on aura

$\int \left[x\,\psi (x\mu ).\psi (x\nu )dx\right]={\frac {\mathrm {\mu \,R\,\psi '(\mu R).\psi (\nu R)-\nu \,R\psi '(\nu R).\psi (\mu R)} }{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}.$

Le second membre étant différentié au numérateur et au dénominateur par rapport à $\nu ,$ donnera, en faisant $\mu =\nu ,$

${\frac {\mathrm {\mu R^{2}\psi '^{2}-R\psi \psi '-\mu R^{2}\psi \psi ''} }{2\mu }}.$

On a d’un autre côté l’équation

$\mu ^{2}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,\quad {\text{ou}}\quad \mu ^{2}\psi +{\frac {\mu }{x}}\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0\,;$

et celle-ci,

${\frac {hx}{\mathrm {2K} }}\psi +\mu \psi '=0.$