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quoi on aura

u=\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)\quad {\text{et}}\quad \sigma =x\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right).

On aura maintenant

{\frac {du}{dx}}\sigma +u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}=x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\psi '\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right)

-x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\psi '\left(x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)-\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right)

+\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)\psi \left(x{\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right).

Les deux derniers termes se détruisant d’eux-mêmes, il sensuit qu’en faisant $x=0,$ ce qui correspond à l’indice $\alpha ,$ le second membre entier s’évanouit. On conclut de là l’équation suivante,

{\begin{aligned}(f)\qquad {\frac {n-m}{\mathrm {K} }}\int (\sigma \,u\,dx)&=\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\,\psi '\left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)\psi \left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right)\\&-\mathrm {R} {\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\,\psi \left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)\psi '\left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right).\end{aligned}}

Il est aisé de voir maintenant que le second membre de cette équation est toujours nul, lorsque les quantités $m$ et $n$ sont du nombre de celles que nous avons désignées précédemment par $m_{1},m_{2},m_{3},$ etc.

On a en effet

{\frac {h\mathrm {R} }{\mathrm {2K} }}=-\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{K}}}.{\frac {\psi '\left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)}{\psi \left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\right)}},

et

{\frac {h\mathrm {R} }{\mathrm {2K} }}=-\mathrm {R} {\sqrt {\frac {n}{K}}}.{\frac {\psi '\left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right)}{\psi \left(\mathrm {R} {\sqrt {\frac {n}{\mathrm {K} }}}\right)}}\,;