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Supposons donc que le facteur $\sigma$ satisfasse à l’équation différentielle du second ordre

${\frac {n}{\mathrm {K} }}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0,$

de même que la fonction $u$ satisfait à l’équation

${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,$

$m$ et $n$ étant des coëfficients constants. On aura

${\frac {n-m}{\mathrm {K} }}\int (\sigma u\,dx)=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.$

Il existe entre $u$ et $\sigma$ une relation très-simple, qui se découvre lorsque, dans l’équation

${\frac {n}{\mathrm {K} }}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0.$

on suppose $\sigma =xs.$ On $x,$ par le résultat de cette substitution, l’équation

${\frac {n}{\mathrm {K} }}s+{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {ds}{dx}}=0,$

ce qui fait voir que la fonction $s$ dépend de la fonction $u,$ donnée par l’équation

${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\,;$

il suffit pour trouver $s$ de changer $m$ en $n$ dans la valeur de $u.$ Or on a vu précédemment que $u$ est une fonction de $x{\sqrt {\frac {m}{k}}},$ que nous avons désignée par $\psi \left(x{\sqrt {\frac {m}{k}}}\right)\,;$ c’est pour-