suite
dans ces mêmes équations, et employant le signe
pour indiquer que l’intégrale est complète, on aura
![{\displaystyle \int \left({\frac {\sigma }{x}}.{\frac {du}{dx}}dx\right)=\left(u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left(u{\frac {\sigma }{s}}\right)_{\alpha }-\int \left[ud\left({\frac {\sigma }{x}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0e791cebbaccd361e9d3fe4ba933be73643e5b)
et
![{\displaystyle \int \left(\sigma {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}dx\right)=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}\right)_{\alpha }+\int \left(u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}{dx}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d119c0c0a7375841b66c75eeca7fd821b56d59)
On obtient ainsi l’équation
![{\displaystyle -{\frac {m}{\mathrm {K} }}\int (\sigma .u\,dx)=\int \left\{u{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-u{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1feeebf15db9c384c42c56fd1685838e1c37c57e)
![{\displaystyle +\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd194594439981988d85002b07ce1e993dd26cce)
On voit maintenant que si la quantité
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ce71909a022d07bdf43fec5d5a0cda797a330f)
qui multiplie
sous le signe d’intégration dans le second membre, était égale au produit de
par un coëfficient constant, les termes
![{\displaystyle \int u\left\{{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}\right\}dx\quad {\text{et}}\quad \int \sigma u\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70f726056ac00141b63b37a9c827ad6d8d40f44)
pourraient être réunis en un seul, et que l’on obtiendrait, pour l’intégrale cherchée
une valeur qui ne contiendrait que des quantités déterminées, et aucun signe d’intégration. Il ne resterait plus qu’à égaler cette valeur à zéro.