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et conserve une valeur finie lorsque $x$ est nulle. De plus, l’équation

$hu+{\frac {du}{dx}}=0$

doit être satisfaite lorsque $x=\mathrm {R} ,$ rayon du cylindre. Cette condition n’aurait pas lieu si l’on domnait à la quantité $m,$ qui entre dans la fonction $u,$ une valeur quelconque. Il faut que l’on ait l’équation

${\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {\theta }{1-{\cfrac {\theta }{2-{\cfrac {\theta }{3-{\cfrac {\theta }{4-{\cfrac {\theta }{5-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}$

dans laquelle $\theta$ désigne ${\frac {m}{\mathrm {K} }}.{\frac {\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}.$ Cette équation déterminée, qui équivaut à la suivante,

${\frac {h\mathrm {R} }{2}}\left(1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)=\theta -{\frac {2\theta ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {3\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-\mathrm {etc.}$

donne pour $\theta$ une infinité de valeurs réelles, que l’on désigne par $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},$ etc. Les valeurs correspondantes de $m$ sont

$\mathrm {{\frac {2^{2}.K\theta _{1}}{R^{2}}},\quad {\frac {2^{2}K\theta _{2}}{R^{2}}},\quad {\frac {2^{2}.K\theta _{3}}{R^{2}}}} ,$ etc.

Ainsi la valeur particulière de $z$ est exprimée ainsi :

$\pi z=e^{-2^{2}{\frac {\mathrm {K} t}{\mathrm {R^{2}} }}\theta _{1}}\int \cos .\left(2{\frac {x}{\mathrm {R} }}{\sqrt {\theta _{1}}}\sin .q\right)dq,$

et l’on peut mettre au lieu de $\theta _{1}$ une quelconque des racines $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\theta _{4},$ etc. La valeur générale de $z$ sera donc expri-