fonction de
et du temps
cette fonction cherchée
doit satisfaire à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=\mathrm {K} \left[{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {dz}{dx}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc258475c25e8041735cb7bb17ee328ea845f14)
On peut prendre pour
la valeur suivante :
![{\displaystyle z=e^{-mt}.u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006f948968676bee48c86035fd254a8c371009f2)
est une fonction de
qui satisfait à l’équation
![{\displaystyle {\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd73ca182047eb86e89e7078aaf82b94540e9086)
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8575e9620da7b440ecf8fbe7f71a74e1bcf3a7)
La valeur suivante
![{\displaystyle u=1-{\frac {\theta }{1^{2}}}+{\frac {\theta ^{2}}{1^{2}.2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{1^{2}.2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{1^{2}.2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\text{etc}}.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef9695a6093266b6d99db29a1b9e541fc687f74)
satisfait à l’équation en
et
on prendra donc pour la valeur de
en
celle-ci,
![{\displaystyle 1-{\frac {m}{\mathrm {K} }}.{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}.{\frac {x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {m^{3}}{\mathrm {K} ^{3}}}.{\frac {x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86c6cf1f0dedc51b71d50026ee9c48402201cdc)
La somme de cette série est
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .q\right)dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ceb96eed195903cac8655e8369ade4cfd378296)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
Cette valeur de
en
et
satisfait à l’équation différentielle
![{\displaystyle {\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2131ced6c9ea4ac9da23c868ea54446606b514ab)