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des aires alternativement positives ou négatives, qui se détruisent réciproquement. Mais nous ne pourrions donner ce développement sans nous écarter de l’objet principal On omettra par le même motif des remarques trop étendues sur les moyens d’exprimer par des intégrales déterminées les valeurs des séries infinies. On se contentera de donner le développement de la quantité $\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}$ en fraction continue.

L’indéterminée $y$ ou $f\theta$ satisfait à l’équation

$y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0,$

d’où l’on déduit :

${\begin{aligned}{\frac {dy}{d\theta }}\ \ &+2{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\theta {\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}=0,\\{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&+3{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}+\theta {\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}=0,\\{\text{etc}}.&\end{aligned}}$

et généralement

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0.$

Mettant par abréviation les quantités $y',y'',y''',y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., au lieu de celles-ci, ${\frac {dy}{d\theta }},\,{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}},\,{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}},\,{\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}},$ etc. on a les équations suivantes :

${\begin{alignedat}{3}&-y&&=y'&&+\theta y''\\&-y'&&=2y''&&+\theta y'''\\&-y''&&=3y'''&&+\theta y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&-y'''&&=4y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&&+\theta y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\\&\mathrm {etc.} \end{alignedat}}$