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$\mathbf {S_{0}\pi ,\,S_{1}\pi ,\,S_{2}\pi ,\,S_{3}\pi ,}$ etc. les intégrales définies $\int \sin .u^{2}du,$ $\int \sin .u^{4}du,$ $\int \sin .u^{6}du,\int \sin .u^{8}du,$ etc., on aura

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(t\sin .u)du=1-{\frac {t^{2}}{1.2}}\mathbf {S} _{2}+{\frac {t^{4}}{1.2.3.4}}\mathbf {S} _{4}-{\frac {t^{6}}{1.2.3.4.5.6}}\mathbf {S} _{6}+{\text{etc}}.$

Il ne s’agit plus que de trouver $\mathbf {S_{2},S_{4},S_{6},}$ etc. Or la puissance $\sin .^{n}u,$ $n$ étant un nombre pair, peut être développée ainsi :

$\sin .^{n}u=\mathrm {A} _{n}+\mathrm {B} _{n}\cos .2u+\mathrm {C} _{n}\cos .4u+{\text{etc}}.$

En multipliant par $du,$ et integrant entre les limites $u=0$ et $u=\pi ,$ on aura seulement

$\int du\sin .^{n}u=\mathrm {A} _{n}\pi \,;$

les autres termes s’évanouissent. Mais on a, d’après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} _{2}&={\frac {1}{2^{2}}}.&&{\frac {2}{1}},\\\mathrm {A} _{4}&={\frac {1}{2^{4}}}.&&{\frac {3.4}{1.2}},\\\mathrm {A} _{6}&={\frac {1}{2^{6}}}.&&{\frac {4.5.6}{1.2.3}},\\\mathrm {A} _{8}&={\frac {1}{2^{8}}}.&&{\frac {5.6.7.8}{1.2.3.4}},\\\mathrm {etc.} &\end{alignedat}}$

En substituant ces valeurs de $\mathrm {S_{2},S_{4},S_{6},S_{8}} ,$ etc., on a

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(t\sin .u)\,du=1-{\frac {t^{2}}{2^{2}}}+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.}$

53 On peut rendre ce résultat plus général en prenant,