Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/791

par les transformations connues,

$2\cos .(\alpha \sin .x)=e^{{\frac {1}{2}}\alpha e^{x{\sqrt {-1}}}}.e^{-{\frac {1}{2}}\alpha e^{-x{\sqrt {-1}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}\alpha e^{x{\sqrt {-1}}}}.e^{{\frac {1}{2}}\alpha e^{-x{\sqrt {-1}}}}.$

et désignant $e^{x{\sqrt {-1}}}$ par $\omega ,$

$2\cos .(\alpha \sin .x)=e^{{\frac {\alpha }{2}}\omega }.e^{-{\frac {\alpha }{2}}\omega ^{-1}}+e^{-{\frac {\alpha }{2}}\omega }.e^{{\frac {\alpha }{2}}\omega ^{-1}}.$

Si on développe le second membre selon les puissances de $\omega ,$ on trouvera que le terme qui ne contient point $\omega$ dans le développement de $2\cos .(\alpha \sin .x)$ est

$2\left[1-{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {\alpha ^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\text{etc}}\right].$

Les coëfficients de $\omega ^{1},\omega ^{3},\omega ^{5},$ etc. sont nuls. Il en est de même des coëfficients des termes qui contiennent $\omega ^{-1},\omega ^{-3},\omega ^{-5},$ etc. Le coëfficient de $\omega ^{-2}$ est le même que celui de $\omega ^{2}.$ Le coëfficient de $\omega ^{4}$ est

$2\left[{\frac {\alpha ^{4}}{2.4.6.8}}-{\frac {\alpha ^{6}}{2^{2}.4.6.8.10}}+{\text{etc}}.\right]\,;$

le coëfficient de $\omega ^{-4}$ est le même que celui $\omega ^{4}.$ Il est aisé d’exprimer la loi suivant laquelle ces coëfficients se succèdent ; mais, sans s’y arrêter, on remarquera que $\omega ^{2}+\omega ^{-2},$ ou $e^{2x{\sqrt {-1}}}+e^{-2x{\sqrt {-1}}},$ équivaut à $2\cos .2x\,;$ que $\omega ^{4}+\omega ^{-4}$ équivaut à $2\cos .4x\,;$ ainsi de suite. Donc la quantité $2\cos .(\alpha \sin .x)$ peut être facilement développée en une série de la forme $\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos .2x+\mathrm {C} \cos .4x+\mathrm {D} \cos .6x+$ etc. : et