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Or les coëfficients des puissances de la variable, dans le développement de la fonction, dépendent des valeurs que reçoivent les rapports différentiels, lorsqu’on fait la variable nulle. Donc l’équation

$y^{(i+1)}=-{\frac {y^{(i)}}{i+1}}$

servira à déterminer tous les coëfficients, en supposant le premier connu. Si on prend $1$ pour ce premier coëfficient, on aura la série

$y=f\theta =1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{5}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+$etc

Si maintenant dans l’équation proposée

$gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.$

on fait

${\frac {gx^{2}}{2^{2}}}=\theta ,$

et que l’on cherche la nouvelle équation en $u$ et $\theta ,$ en regardant $u$ comme une fonction de $\theta ,$ on trouvera

$u+{\frac {du}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=0\,;$

d’où l’on conclut

$u=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-$etc.,

ou

$u=1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.$

52. Il est facile d’exprimer la somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction $\cos(\alpha \sin .x)$ en cosinus d’arcs multiples. On aura d’abord.