tervalle de
à
Donc l’équation
a nécessairement une racine réelle entre
et
et comme l’équation
a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s’ensuit que l’équation
a aussi toutes ses racines réelles. On est parvenu à démontrer de cette manière que l’équation déterminée
![{\displaystyle {\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {\theta -2{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+3{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-{\text{etc}}}{1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\text{etc}}.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17117a62e5d265d226c1d57fab49d45c68f9296c)
ou
![{\displaystyle {\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}-2{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+3{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\text{etc}}.}{1-{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f66d34e176d0df4cab4c1b70c910d1232eee18f)
dont l’inconnue est
a toutes ses racines réelles et positives.
Nous allons poursuivre cet examen de la nature de la fonction
et de l’équation différentielle à laquelle elle satisfait.
On peut d’abord remarquer que si la fonction
n’était point déjà résolue en série, on en déduirait facilement le développement de l’équation générale
![{\displaystyle {\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2a6872f2c3430ad80c1e155c10c991c0beb451)
En effet, si l’on donne à
la valeur
et que l’on désigne par
la valeur que reçoit le rapport différentiel de l’ordre
on aura en général
![{\displaystyle y^{(i+1)}=-{\frac {y^{(i)}}{i+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17bf4d8b1d193952590555b79347935f3c17a9e)