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tervalle de $\theta _{2}$ à $\theta _{3}.$ Donc l’équation $\mathrm {A} =\theta {\frac {y'}{y}}$ a nécessairement une racine réelle entre $\theta _{1}$ et $\theta _{3}\,;$ et comme l’équation $y'=0$ a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s’ensuit que l’équation $\mathrm {A} =\theta {\frac {y'}{y}}$ a aussi toutes ses racines réelles. On est parvenu à démontrer de cette manière que l’équation déterminée

${\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {\theta -2{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+3{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-{\text{etc}}}{1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\text{etc}}.}},$

ou

${\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}-2{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}+3{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\text{etc}}.}{1-{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.}},$

dont l’inconnue est $g,$ a toutes ses racines réelles et positives.

Nous allons poursuivre cet examen de la nature de la fonction $u,$ et de l’équation différentielle à laquelle elle satisfait.

On peut d’abord remarquer que si la fonction $f\theta$ n’était point déjà résolue en série, on en déduirait facilement le développement de l’équation générale

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0.$

En effet, si l’on donne à $\theta$ la valeur $0,$ et que l’on désigne par $y^{(i)}$ la valeur que reçoit le rapport différentiel de l’ordre $i,$ on aura en général

$y^{(i+1)}=-{\frac {y^{(i)}}{i+1}}.$