négatives de il est visible, d’après ia nature de la fonction qu’aucune quantité négative, mise à la place de ne pourrait rendre nulle ui cette fonction, ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation : car la substitution d’une quantité négative quelconque, depuis jusqu’à donne des résultats de même signe. Donc on est assuré que l’équation a toutes ses racines réelles et positives. Il suit de là que l’équation ou a aussi toutes ses racines réelles, ce qui est une conséquence connue des principes de l’algèbre. Examinons maintenant quelles sont les valeurs successives que reçoit le terme lorsqu’on donne à des valeurs continuellement croissantes, depuis jusqu’à Si une valeur de rend nulle, la quantité devient nulle aussi ; elle devient infinie lorsque rend nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s’agit, toute racine de est placée entre deux racines consécutives de et réciproquement, désignant par et deux racines consécutives de cette dernière équation, et par la racine de l’équation qui est placée entre et toute valeur de comprise entre et donne à un signe différent de celui que recevrait cette fonction si avait une valeur comprise entre et Ainsi la quantité est nulle lorsque infinie lorsque et nulle lorsque Il est donc nécessaire que cette quantité prenne toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu’à l’infini, dans l’intervalle de à et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé depuis l’infini jusqu’à zéro, dans l’in-
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