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négatives de $\theta ,$ il est visible, d’après ia nature de la fonction $f\theta ,$ qu’aucune quantité négative, mise à la place de $\theta ,$ ne pourrait rendre nulle ui cette fonction, ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation : car la substitution d’une quantité négative quelconque, depuis $0$ jusqu’à $-{\frac {1}{0}},$ donne des résultats de même signe. Donc on est assuré que l’équation $y=0$ a toutes ses racines réelles et positives. Il suit de là que l’équation $f'\theta =0,$ ou $y'=0,$ a aussi toutes ses racines réelles, ce qui est une conséquence connue des principes de l’algèbre. Examinons maintenant quelles sont les valeurs successives que reçoit le terme $\theta {\frac {y'}{y}},$ lorsqu’on donne à $\theta$ des valeurs continuellement croissantes, depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\frac {1}{0}}.$ Si une valeur de $\theta$ rend $y'$ nulle, la quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ devient nulle aussi ; elle devient infinie lorsque $\theta$ rend $y$ nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s’agit, toute racine de $y=0$ est placée entre deux racines consécutives de $y'=0;$ et réciproquement, désignant par $\theta _{1}$ et $\theta _{3},$ deux racines consécutives de cette dernière équation, et par $\theta _{2}$ la racine de l’équation $y=0,$ qui est placée entre $\theta _{1}$ et $\theta _{3},$ toute valeur de $\theta ,$ comprise entre $\theta _{1}$ et $\theta _{2},$ donne à $y$ un signe différent de celui que recevrait cette fonction si $\theta$ avait une valeur comprise entre $\theta _{2}$ et $\theta _{3}.$ Ainsi la quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ est nulle lorsque $\theta =\theta _{1},$ infinie lorsque $\theta =\theta _{2},$ et nulle lorsque $\theta =\theta _{3}.$ Il est donc nécessaire que cette quantité $\theta {\frac {y'}{y}}$ prenne toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu’à l’infini, dans l’intervalle de $\theta _{1}$ à $\theta _{2}\,;$ et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé depuis l’infini jusqu’à zéro, dans l’in-