doit avoir toutes ses racines réelles. Nous établirons en effet que l’équation
a toutes ses racines réelles, qu’il en est de même par conséquent de l’équation
et qu’il s’ensuit que l’équation
a aussi toutes ses racines réelles,
étant un nombre quelconque.
L’équation
étant différenciée deux fois, donne
![{\displaystyle y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff3e4ea344236253e0936685a96dc76052fc25d)
ainsi la fonction de
dont il s’agit, satisfait à cette équation différentielle. On écrira, comme il suit, l’équation précédente, et toutes celles qu’on en déduit par la différentiation :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&y&&+\ \ {\frac {dy}{d\theta }}&&+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&&=0,\\&{\frac {dy}{d\theta }}&&+2{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&&+\theta {\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}&&=0,\\&{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&&+3{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}&&+\theta {\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}&&=0,\\&{\text{etc}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8af14c418c7b23dc343286ef3c5e08fb9cde64a)
et en général
![{\displaystyle {\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2a6872f2c3430ad80c1e155c10c991c0beb451)
Or, si l’on écrit l’équation algébrique en
![{\displaystyle \mathrm {X} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349cf1f457607188c46f6d202e97a513f43b0576)
ainsi que toutes celles qui en dérivent par la différentiation :
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\quad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da628beffed86702053966234f0b9860ba0b872)
etc.