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a l’équation déterminée, $u_{1},u_{2},u_{3},$ etc. désignent les valeurs de $u$ qui correspondent aux différentes racines de l’équation en $g\,;$ et $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc. sont des coëfficients arbitraires, qui ne peuvent être déterminés que par l’état initial du solide.

Il faut maintenant examiner la nature de l’équation déterminée qui donne les valeurs de $g,$ et prouver que toutes les racines de cette équation sont réelles ; recherche qui exige un examen attentif.

Dans la série $1-{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.,$ qui exprime la valeur que reçoit $u$ lorsque $x=\mathrm {R} ,$ on remplacera ${\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}$ par la quantité $\theta ,$ et désignant par $f\theta ,$ ou $y,$ cette fonction de $\theta ,$ on aura

$y=f\theta =1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\text{etc}}.$

Il est facile de voir que l’équation déterminée devient

${\frac {h\mathrm {R} }{2}}={\frac {\theta -2{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}+3{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}-4{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+5{\frac {\theta ^{5}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}-\ldots }{1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-{\frac {\theta ^{5}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+\ldots }}=-\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}.$

$f'\theta$ désignant ${\frac {df(\theta )}{d\theta }}.$ Cette dernière équation est d’un degré infiniment élevé. Chacune des valeurs de $\theta$ fournira une valeur pour $g,$ au moyen de l’équation ${\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}=\theta ,$ et l’on obtiendra les quantités $g_{1},g_{2},g_{3},g_{4},$ etc., qui entrent en nombre infini dans la solution cherchée.

La question est donc de démontrer que l’équation

${\frac {h\mathrm {R} }{2}}+\theta {\frac {f'\theta }{f\theta }}=0$