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$1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {g^{4}x^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\text{etc}}.$

L’état de la surface extérieure du cylindre est sujet à une condition, exprimée par l’équation déterminée

$hz+{\frac {dz}{dx}}=0,$

qui doit être satisfaite lorsque le rayon $x$ a sa valeur totale $\mathrm {R} :$ on en conclura l’équation déterminée

$h\left[1-{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}\right]={\frac {2g\mathrm {R} }{2^{2}}}-{\frac {4g^{2}\mathrm {R} ^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6g^{3}\mathrm {R} ^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\text{etc}}.$

On voit par-là que le nombre $g,$ qui entre dans la valeur particulière de $z$ ou $e^{-g\mathrm {K} t}u,$ n’est point arbitraire : il est nécessaire que cette valeur de $g$ satisfasse à l’équation précédente qui contient $g$ et $\mathrm {R} .$ Or nous prouverons par la suite que cette équation, dans laquelle $h,\mathrm {K}$ et $\mathrm {R}$ sont des quantités données, a une infinité de racines, et que toutes ces valeurs de $g$ sont réelles ; d’où il suit que l’on peut donner à la variable $z$ une infinité de valeurs particulières de la forme $e^{-g\mathrm {K} t}u,$ qui différeront seulement par les nombres $g.$ On pourra donc composer une valeur plus générale de $z,$ en ajoutant toutes ces valeurs particulières multipliées par des coëfficients arbitraires. Ainsi l’intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée, est donnée par l’équation suivante :

$z=a_{1}e^{-g_{1}\mathrm {K} t}u_{1}+a_{2}e^{-g_{2}\mathrm {K} t}u_{2}+a_{3}e^{-g_{3}\mathrm {K} t}u_{3}+{\text{etc}}.$

$g_{1},g_{2},g_{3},$ etc. désignent toutes les valeurs de $g$ qui satisfont