![{\displaystyle 1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {g^{4}x^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cfcc70ebc9ee5a7c7dd339414e9a984efa32b9)
L’état de la surface extérieure du cylindre est sujet à une condition, exprimée par l’équation déterminée
![{\displaystyle hz+{\frac {dz}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf7bfa69214e06ef865d403bab5fcde16555b93)
qui doit être satisfaite lorsque le rayon
a sa valeur totale
on en conclura l’équation déterminée
![{\displaystyle h\left[1-{\frac {g\mathrm {R} ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}\mathrm {R} ^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}\mathrm {R} ^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}\right]={\frac {2g\mathrm {R} }{2^{2}}}-{\frac {4g^{2}\mathrm {R} ^{3}}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {6g^{3}\mathrm {R} ^{5}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}-{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dc407149f59e595fb3f1e74419f3b91e9b7ada)
On voit par-là que le nombre
qui entre dans la valeur particulière de
ou
n’est point arbitraire : il est nécessaire que cette valeur de
satisfasse à l’équation précédente qui contient
et
Or nous prouverons par la suite que cette équation, dans laquelle
et
sont des quantités données, a une infinité de racines, et que toutes ces valeurs de
sont réelles ; d’où il suit que l’on peut donner à la variable
une infinité de valeurs particulières de la forme
qui différeront seulement par les nombres
On pourra donc composer une valeur plus générale de
en ajoutant toutes ces valeurs particulières multipliées par des coëfficients arbitraires. Ainsi l’intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée, est donnée par l’équation suivante :
![{\displaystyle z=a_{1}e^{-g_{1}\mathrm {K} t}u_{1}+a_{2}e^{-g_{2}\mathrm {K} t}u_{2}+a_{3}e^{-g_{3}\mathrm {K} t}u_{3}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94fe7d8f46f32b49ab670d84f32d3fd8b4ca43a)
etc. désignent toutes les valeurs de
qui satisfont