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VIII.

Du mouvement de la chaleur dans un cylindre solide.

51. L’équation ${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left[{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {dz}{dx}}\right]$ représente le mouvement de la chaleur dans le cylindre. Pour intégrer cette équation, on donnera en premier lieu à $z$ la valeur particulière exprimée par l’équation $z=e^{-mt}u.$ $m$ est un nombre arbitraire, et $u$ une fonction de $x.$ On désigne par $\mathrm {K}$ le rapport $\mathrm {\frac {K}{CD}} ,$ et par $h$ le rapport ${\frac {h}{\mathrm {K} }}.$ En substituant la valeur de $z,$ on trouve la condition suivante, ${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.$ On choisira donc pour $u$ une valeur qui satisfasse à cette équation différentielle. Cette valeur de $u$ est une fonction qui contient $x$ et ${\frac {m}{K}}\,:$ en désignant ${\frac {m}{\mathrm {K} }}$ par $g,$ nous prendrons pour exprimer la valeur de $u$ la série

$1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {g^{4}x^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\text{etc}}.$

qui dérive en effet de l’équation différentielle, comme on le verra plus bas. On aura donc une valeur particulière de $z$ en écrivant $z=e^{-g\mathrm {K} t}u,$ $u$ doit satisfaire à l’équation du second ordre

$gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.$

et est exprimée par la série suivante :