VIII.
Du mouvement de la chaleur dans un cylindre solide.
51. L’équation
représente le mouvement de la chaleur dans le cylindre. Pour intégrer cette équation, on donnera en premier lieu à
la valeur particulière exprimée par l’équation
est un nombre arbitraire, et
une fonction de
On désigne par
le rapport
et par
le rapport
En substituant la valeur de
on trouve la condition suivante,
On choisira donc pour
une valeur qui satisfasse à cette équation différentielle. Cette valeur de
est une fonction qui contient
et
en désignant
par
nous prendrons pour exprimer la valeur de
la série
![{\displaystyle 1-{\frac {gx^{2}}{2^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {g^{3}x^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\frac {g^{4}x^{8}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}.8^{2}}}-{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cfcc70ebc9ee5a7c7dd339414e9a984efa32b9)
qui dérive en effet de l’équation différentielle, comme on le verra plus bas. On aura donc une valeur particulière de
en écrivant
doit satisfaire à l’équation du second ordre
![{\displaystyle gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ad0f47d255d26e9978c88d627defd2e7c147bb)
et est exprimée par la série suivante :