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est fondé sur une construction géométrique, qui paraît très-propre à expliquer la nature de ces équations. En effet cette construction fait voir clairement que toutes les racines sont réelles ; en même temps elle en fait connaître les limites, et indique les moyens de déterminer la valeur numérique de chacune d’elles. L’examen analytique des équations de ce genre donnerait les mêmes résultats. Il est d’abord très-facile de reconnaitre que l’équation $\varepsilon -\lambda \operatorname {tang} .\varepsilon =0,$ dans laquelle $\lambda$ est un nombre connu moindre que l’unité, n’a aucune racine imaginaire de la forme $m+n{\sqrt {-1}}.$ Il suffit de substituer au lieu de $\varepsilon$ cette dernière quantité, et l’on voit, après les transformations, que le premier membre ne peut devenir nul, lorsqu’on attribue à $m$ et $n$ des valeurs réelles, à moins que $n$ ne soit nulle. On démontrera ensuite qu’il ne peut y avoir dans cette même équation

$\varepsilon -\lambda \operatorname {tang} .\varepsilon =0,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {\varepsilon \cos .\varepsilon -\lambda \sin .\varepsilon }{cos.\varepsilon }}=0,$

aucune racine imaginaire, de quelque forme que ce puisse être. En effet, 1^o les racines imaginaires du facteur ${\frac {1}{\cos .\varepsilon }}=0$ n’appartiennent point à l’équation $\varepsilon -\lambda \operatorname {tang} .\varepsilon =0,$ puisque ces racines sont toutes de la forme $m+n{\sqrt {-1}}\,;$ 2^o l’équation

$\sin .\varepsilon -{\frac {\varepsilon }{\lambda }}\cos .\varepsilon =0$

a nécessairement toutes ses racines réelles, lorsque $\lambda$ est moindre que l’unité. Pour prouver cette dernière proposition, il faut considérer $\sin .\varepsilon$ comme le produit d’une infinité de facteurs qui sont

$\varepsilon \left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{4^{2}\pi ^{2}}}\right){\text{etc}}.$