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On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {3}{\mathrm {X} ^{3}}}\int (x^{2}zdx)=&3.4{\frac {(\sin .n_{1}\mathrm {X} -n_{1}\mathrm {X} \cos .n_{1}\mathrm {X} )^{2}}{(2n_{1}\mathrm {X} -\sin .2n_{1}\mathrm {X} )n_{1}^{3}\mathrm {X} ^{3}}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}\\&+3.4{\frac {(\sin .n_{2}\mathrm {X} -n_{2}\mathrm {X} \cos .n_{2}\mathrm {X} )^{2}}{(2n_{2}\mathrm {X} -\sin .2n_{2}\mathrm {X} )n_{2}^{3}\mathrm {X} ^{3}}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

et en désignant par $\mathrm {Z}$ la température moyenne,

${\frac {\mathrm {Z} }{3.4}}={\frac {(\sin .\varepsilon _{1}-\varepsilon _{1}\cos .\varepsilon _{1})^{2}}{(2\varepsilon _{1}-\sin .2\varepsilon _{1})e_{1}^{3}}}e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {CD.X^{2}} }}t}$

$+{\frac {(\sin .\varepsilon _{2}-\varepsilon _{2}\cos .\varepsilon _{2})^{2}}{(2\varepsilon _{2}-\sin .2\varepsilon _{2})e_{2}^{3}}}e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {CD.X^{2}} }}t}+{\text{etc}}.,$

équation dans laquelle tous les coëfficients des exponentielles sont positifs.

Nous considérerons le cas où, toutes les autres conditions demeurant les mêmes, la valeur $\mathrm {X}$ du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction rapportée en l’article (44), on voit que la quantité ${\frac {h\mathrm {X} }{\mathrm {K} }}$ devenant infinie, la droite menée par l’origine, et qui doit couper les différentes branches de la courbe, se confond avec l’axe des $\varepsilon .$ On trouve donc, pour les différentes valeurs de $\varepsilon ,$ les quantités $\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ,$ etc. Le terme de la valeur de $\mathrm {Z}$ qui contient

$e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {CD.X^{2}} }}t}$

devenant, à mesure que le temps augmente, beaucoup plus grand que les suivants, cette valeur de $\mathrm {Z} ,$ après un temps considérable, est exprimée sans erreur sensible par le premier terme seulement. L’exposant ${\frac {\mathrm {K} n_{1}^{2}}{\mathrm {CD} }}$ étant égal à $\mathrm {\frac {K\pi ^{2}}{CD.X^{2}}} ,$ on voit que le refroidissement final est très-lent dans les