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de la sphère, ou celle qu’aurait ce solide, si toute la quantité de chaleur qu’il contient était également distribuée entre tous les points de la masse. Le solide de la sphère dont le rayon est $x,$ étant $4{\frac {\pi x^{3}}{3}},$ la quantité de chaleur contenue dans une enveloppe sphérique dont la température est $z,$ et qui est placée à la distance $x,$ sera

$4zd\left({\frac {\pi x^{3}}{3}}\right).$

Ainsi la chaleur moyenne est

$4\int \left\{{\frac {4zd\left({\frac {\pi x^{3}}{3}}\right)}{4\pi {\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3}}}}\right\},$

ou

$3\int \left({\frac {x^{2}zdx}{\mathrm {X} ^{3}}}\right),$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ On mettra pour $z$ sa valeur

${\frac {a_{1}}{x}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}\sin .n_{1}x+{\frac {a_{2}}{x}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}\sin .n_{2}x+{\frac {a_{3}}{x}}e^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}\sin .n_{3}x+{\text{etc}}.$

et l’on aura l’équation

$\int (x^{2}z.dx)={\frac {3}{\mathrm {X} ^{3}}}\left(a_{1}{\frac {\sin .n_{1}\mathrm {X} -n_{1}\mathrm {X} \cos .n_{1}\mathrm {X} }{n_{1}^{2}}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}\right.$

$\left.+a_{2}{\frac {\sin .n_{2}\mathrm {X} -n_{2}\mathrm {X} \cos .n_{2}\mathrm {X} }{n_{2}^{2}}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\text{etc}}.\right)$

On a trouvé précédemment

$a_{i}=2{\frac {\sin .n_{i}\mathrm {X} -n_{i}\mathrm {X} \cos .n_{i}\mathrm {X} }{\left(\sin .n_{i}\mathrm {X} -{\frac {1}{2}}\sin .2n_{i}\mathrm {X} \right)n_{i}}},$