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et les supposant rangées par ordre en commençant par plus petite ; remplacant $n_{1}\mathrm {X} ,\,n_{2}\mathrm {X} ,\,n_{3}\mathrm {X} ,$ etc., par $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},$ etc., et mettant au lieu de $\mathrm {K}$ et $h$ leurs valeurs $\mathrm {\frac {K}{CD}}$ et ${\frac {h}{\mathrm {K} }}\,;$ on aura, pour exprimer les variations des températures pendant le refroidissement d’une sphère solide qui avait été uniformément échauffée, l’équation

$z={\frac {2h\mathrm {X} }{\mathrm {K} }}\left\{{\frac {\sin .{\frac {\varepsilon _{1}x}{\mathrm {X} }}}{{\frac {\varepsilon _{1}x}{\mathrm {X} }}(\varepsilon _{1}\operatorname {\text{coséc}} .\varepsilon _{1}-\cos .\varepsilon _{1})}}e^{-\mathrm {\frac {K}{CD}} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}\right.$

$\left.+{\frac {\sin .{\frac {\varepsilon _{2}x}{\mathrm {X} }}}{{\frac {\varepsilon _{2}x}{\mathrm {X} }}(\varepsilon _{2}\operatorname {\text{coséc}} .\varepsilon _{2}-\cos .\varepsilon _{2})}}e^{-\mathrm {\frac {K}{CD}} {\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}+{\text{etc}}.\right\}$

47. La solution précédente peut donner lieu à diverses remarques : 1^o si on suppose que le coëfficient $h,$ qui mesure la facilité avec laquelle la chaleur passe dans l’air, a une très-petite valeur, ou que le rayon $\mathrm {X}$ de la sphère soit très-petit, la moindre valeur de sera extrêmement voisine de zéro ; en sorte que l’équation ${\frac {\varepsilon }{\operatorname {tang} .\varepsilon }}=1-{\frac {h\mathrm {X} }{\mathrm {K} }}$ se réduit à

${\frac {\varepsilon \left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\right)}{1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2.3}}}}=1-{\frac {h\mathrm {X} }{\mathrm {K} }}\,;$

ou, en omettant les puissances supérieures de $\varepsilon ,$ $\varepsilon ^{2}=3{\frac {h\mathrm {X} }{\mathrm {K} }}.$ D’un autre côté la quantité ${\frac {\varepsilon }{\sin .\varepsilon }}-\cos .\varepsilon$ devient, dans la même hypothèse, $2{\frac {h\mathrm {X} }{\mathrm {K} }}.$ Quant au facteur

${\frac {\sin .\varepsilon {\frac {x}{X}}}{\varepsilon {\frac {x}{X}}.}},$

il se réduit à l’unité. En faisant ces substitutions dans