46. Nous appliquerons maintenant la solution générale au cas où la sphère ayant été long-temps plongée dans un liquide, a acquis dans tous ses points une même température. Dans ce cas la fonction
est
et la détermination des coëfficients se réduit à intégrer
![{\displaystyle x\sin .nx.dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a6a31b0e0c7348dee5b7eafa966b61be7c9bfc)
depuis
jusqu’à
Cette intégrale est
![{\displaystyle {\frac {\sin .n\mathrm {X} -n\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} }{n^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197559bac077e69ec85585e3fd30a3d2ce5bad57)
donc la valeur d’un coëfficient quelconque est exprimée ainsi :
![{\displaystyle a=2\left\{{\frac {1-{\cfrac {n\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} }{\sin .n\mathrm {X} }}}{\left({\cfrac {n\mathrm {X} }{\sin .n\mathrm {X} }}-\cos .n\mathrm {X} \right)n}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ca54865d226030b9e8ce31e8ae869ed234068d)
L’équation qui donne la valeur de
est
![{\displaystyle {\frac {n\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} }{\sin .n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2963e2e12a57960799bbffe227eaf27995c57847)
On trouvera donc
![{\displaystyle a={\frac {2h\mathrm {X} }{n\left(n\mathrm {X} \operatorname {\text{coséc}} .n\mathrm {X} -\cos .n\mathrm {X} \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b7fa3457339ce60ce82a114e82b2f149c84eaa)
Il est aisé maintenant de former la valeur générale de
qui est
![{\displaystyle {\frac {zx}{2h\mathrm {X} }}={\frac {\sin .n_{1}x}{n_{1}\left(n_{1}\mathrm {X} \operatorname {\text{coséc}} .n_{1}\mathrm {X} -\cos .n_{1}\mathrm {X} \right)}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6be93aaf819caf3cbba55b3534bdf91ec1d941d)
![{\displaystyle +{\frac {\sin .n_{2}x}{n_{2}\left(n_{2}\mathrm {X} \operatorname {\text{coséc}} .n_{2}\mathrm {X} -\cos .n_{2}\mathrm {X} \right)}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280e07ec69a22cf8497c7218d31ea922f55f9f27)
En désignant par
etc. les racines de l’équation
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\operatorname {tang} .\varepsilon }}=1-h\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a676e324516c738506a8636fa53c85e77d4c04)